Question

【题目】如图，在中，，以为直径作，点D在上，，，垂足为点E，与和分别交于点M、F．连接、、．

（1）证明：是的切线；

（2）若，，求的半径长；

（3）在（2）的条件下，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）5；（3）2

【解析】

(1)易证BCOBDO，可得：∠BDO=∠BCO=90°，即：OD⊥BD，即可得证；

(2)由，得AE：ME：AM=1：2：，即AE=2，ME=4，连接CM，由tan∠ACM= tan∠AME=，可得：CM=，根据勾股定理得AC的长，即可得到结论；

(3)过点B作BN∥AC，交MD的延长线于点N，设EF=x，由AEF~BNF，得NF=4x，从而得BC=NE=5x，BD=BC=5x，DN=NE-DE=5x-4，根据勾股定理，求出x的值，进而得到答案.

（1）在BCO和BDO中，

∵

∴BCOBDO（SSS），

∴∠BDO=∠BCO=90°，即：OD⊥BD，

∴是的切线；

（2）∵，

∴DE=ME，

∴AM=，

∵，

∴AE：ME：AM=1：2：，

∴AE=2，ME=4，

连接CM，则∠AMC=90°，

∵∠AME+∠CME=90°，

∠CME+∠ACM=90°，

∴∠AME=∠ACM，

∴tan∠ACM= tan∠AME=，

∴CM=2AM=2×=，

∴AC=，

∴的半径长是：5.

（3）过点B作BN∥AC，交MD的延长线于点N，

由（2）题可知：AE=2，EC=8，DE=ME=4，

∵四边形ECBN是矩形，

∴BN=EC=8，

设EF=x，

∵BN∥AC，

∴AEF~BNF，

∴，即：，

∴NF=4x，

∴BC=NE=5x，

∴BD=BC=5x，DN=NE-DE=5x-4，

∵在RtBND中，，

∴，解得：x=2，

∴DF=DE-EF=4-2=2，