题目内容
8．如图图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）△ABD与△CAE全等吗？BD与DE+CE相等吗？请说明理由．
（2）如图图2，若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置（BD＜CE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？（只须回答结论）．
（3）如图图3，若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置（BD＞CE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？（只须回答结论）．
分析 （1）根据已知条件易证得∠BAD=∠ACE，且根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线段的关系即可得结论．
（2）BD=DE+CE．根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线段的关系即可得结论．
（3）同上理，BD=DE+CE仍成立．
解答 解：证明如下：
（1）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠BAD；
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ACE=∠BAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE；
∵AE=DE+AD，
∴BD=DE+CE；
（2）DE=BD+CE．
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠BAD；
又∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ACE=∠BAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE；
∵DE=AE+AD，
∴DE=BD+CE；
（3）结论是：当B、C在AE两侧时，BD=DE+CE；当B、C在AE同侧时，BD=DE-CE，DE=BD+CE．
点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到直角三角形的性质、余角和补角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
练习册系列答案
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