Question

已知一次函数y=kx+b的图象交y轴于点A（0，1），交x轴于点C，且与正比例函数y=

1

2

x的图象相交于点B（4，a）．
（1）求a、k、b的值；
（2）求△AOC的面积；
（3）在函数y=

1

2

x的直线上是否存在一点P，使得S_△PAO=2S_△AOC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：

分析：（1）先把（4，a）代入y=

1

2

x可求出a，然后利用待定系数确定一次函数解析式，从而得到k和b的值．
（2）先求得C的坐标，进而求得OC的长，根据三角形的面积公式即可求得；
（3）设P（m，

1

2

m），根据S_△PAO=2S_△AOC即可列出关于m的方程，解方程求得m，进而求得P的坐标；

解答：解：（1）把（4，a）代入y=

1

2

x得a=2，
把（0，1）、（4，2）代入y=kx+b得

b=1 4k+b=2

，
解得

k= 1 4 b=1

；

（2）由（1）可知一次函数y=

1

4

x+1，
∴C（-4，0），
∴OC=4，
∴△AOC的面积=

1

2

OC•OA=

1

2

×4×1=2；

（3）存在；
设P（m，

1

2

m），
∴S_△PAO=

1

2

OA•|m|=

1

2

×1•|m|=

1

2

|m|，
∵S_△PAO=2S_△AOC，
∴

1

2

|m|=2×2=4，解得：|m|=8，
∴P（8，4）或（-8，-4）．

点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂平行，则k₁=k₂；若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．