在平面直角坐标系中.点与点之间存在一种变换T.在变换T的作用下.点P(x.y)被变为点P′．例如:当P点坐标为(1.0)时.在变换T的作用下变为点P′.即为P′(2.6)．(1)若点M在变换T的作用下变为M′.求点M的坐标,(2)若点N在变换T的作用下变为的对应点N′在第二象限.求实数m的取值范围,(3)设平面直角坐标系上的任意一点Q(x.y)在变换T的作用下对应点为Q′.问是否存在一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．在平面直角坐标系中，点与点之间存在一种变换T，在变换T的作用下，点P（x，y）被变为点P′（2x-y，3x-2y+3）．例如：当P点坐标为（1，0）时，在变换T的作用下变为点P′（2×1-0，3×1-2×0+3），即为P′（2，6）．
（1）若点M在变换T的作用下变为M′（1，-1），求点M的坐标；
（2）若点N（$\frac{m}{4}$，m）在变换T的作用下变为的对应点N′在第二象限，求实数m的取值范围；
（3）设平面直角坐标系上的任意一点Q（x，y）在变换T的作用下对应点为Q′，问是否存在一次函数y=kx+b，使得点Q和Q′都在这个一次函数的图象上？若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）首先设点M的坐标是（x，y），则在变换T的作用下，点M（x，y）被变为点M′（2x-y，3x-2y+3），然后根据点M′的坐标是（1，-1），列出二元一次方程组，求出x、y的值，即可求出点M的坐标．
（2）首先求出点N（$\frac{m}{4}$，m）在变换T的作用下的点N′的坐标是多少；然后根据点N′在第二象限，可得点N′的横坐标小于0，纵坐标大于0，求出实数m的取值范围即可．
（3）①当x=y时，不存在一次函数y=kx+b，使得点Q和Q′都在这个一次函数的图象上；②当x≠y时，存在一次函数y=kx+b，使得点Q和Q′都在这个一次函数的图象上，根据点Q和Q′都在一次函数y=kx+b的图象上，列出二元一次方程组，求出k、b的值各是多少即可．

解答解：（1）设点M的坐标是（x，y），
则在变换T的作用下，点M（x，y）被变为点M′（2x-y，3x-2y+3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=1}\\{3x-2y+3=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=11}\end{array}\right.$
∴点M的坐标是（6，11）．

（2）2x-y=2×$\frac{m}{4}$-m=$\frac{m}{2}-m=-\frac{m}{2}$
3x-2y+3=3×$\frac{m}{4}$-2m+3=$\frac{3}{4}m$-2m+3=-$\frac{5}{4}m+3$
∵点N′在第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{m}{2}＜0}\\{-\frac{5}{4}m+3＞0}\end{array}\right.$
解得0＜m＜2.4，
即实数m的取值范围是0＜m＜2.4．

（3）①当x=y时，不存在一次函数y=kx+b，使得点Q和Q′都在这个一次函数的图象上．
②当x≠y时，存在一次函数y=kx+b，使得点Q和Q′都在这个一次函数的图象上．
①当x=y时，
∵点Q（x，x）在变换T的作用下对应点为Q′（x，x+3），
∴不存在一次函数y=kx+b，使得点Q和Q′都在这个一次函数的图象上．

②当x≠y时，点Q（x，y）在变换T的作用下对应点为Q′（2x-y，3x-2y+3），
∵点Q和Q′都在一次函数y=kx+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{3x-2y+3=k（2x-y）+b}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3-\frac{3}{y-x}}\\{b=y-3x+\frac{3x}{y-x}}\end{array}\right.$
∴当x≠y时，存在一次函数y=kx+b，使得点Q和Q′都在这个一次函数的图象上，此时k=3-$\frac{3}{y-x}$，b=y-3x+$\frac{3x}{y-x}$．