Question

3．如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，与y轴交于点C．P为BC上的一个动点，过P作BC的垂线交抛物线于M、N两点．若四边形BMCN的面积为12，求直线MN的解析式．

Answer 1

分析 过点N作ND∥y轴，过点M作MD∥x轴．令x=0求得点C的坐标，令y=0求得点B的坐标，利用勾股定理可求得BC=3$\sqrt{2}$，然后由四边形BMCN的面积为12可求得MN=4$\sqrt{2}$，从而得到MD=4，因为MN⊥BC，故此可设MN的解析式为y=x+b，将y=x+b与y=-x²+2x+3联立，得到x²-x+b-3=0，最后根据$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{a}$=MD=4求得b的值即可．

解答 解：如图所示：过点N作ND∥y轴，过点M作MD∥x轴．

令x=0得y=3，则点C的坐标为（0，3）．
令y=0得：-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1．
则点B的坐标为（3，0）
在Rt△OBC中，BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∵NM⊥BC，
∴四边形BMCN的面积=$\frac{1}{2}MN•BC=12$，即$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}•MN=12$，
解得：MN=4$\sqrt{2}$．
∵MN⊥BC，
∴直线MN的一次项系数为1．
∴∠NMD=45°
∴MD=4
设直线MN的解析式为y=x+b，将y=x+b与y=-x²+2x+3联立得：-x²+2x+3=x+b，
整理得：x²-x+b-3=0．
∵MD=4，
∴$\frac{\sqrt{{1}^{2}-4×1×（b-3）}}{1}$=4．
解得：b=-$\frac{3}{4}$．
∴直线MN的解析式为y=x-$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，勾股定理的应用、一次函数的性质、明确相互垂直的直线的一次项系数的乘积为-1是解题的关键．