Question

4．二次函数y=（x+1）²-5，当m≤x≤n，且mn＜0，y的最小值是2m，最大值是2n，则m+n=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由条件m≤x≤n和mn＜0可得m＜0，n＞0所以y的最小值2m为负数，最大值2n为正数．最小值为2m分两种情况：①-1＜m＜0时，x=m时取得最小值2m；②m≤-1时，函数在x=-1时取得最小值-5，据此分别求解可得．

解答 解：∵mn＜0，且m≤x≤n，
∴m＜0、n＞0，

①当-1＜m＜0时，x=m时取得最小值2m，x=n时，取得最大值2n，
即$\left\{\begin{array}{l}{（m+1）^{2}-5=2m}&{①}\\{（n+1）^{2}-5=2n}&{②}\end{array}\right.$，
解方程①得：m=2或m=-2（均不符合题意），舍去；
②当m≤-1时，函数在x=-1时取得最小值-5，x=n时取得最大值2n，
即$\left\{\begin{array}{l}{2m=-5}\\{（n+1）^{2}-5=2n}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{5}{2}$，n=2或n=-2（舍去），
则m+n=-$\frac{5}{2}$+2=-$\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$

点评 本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的图象分类讨论是解题的关键．