Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．
（3）如图2，若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）满足条件的点P的坐标有：、、、；
（3）存在点E能使S有最大值，最大值为3，此时点E的坐标为（1，0）．

试题分析：本题考查了二次函数的综合运用.其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法，在动点问题时要注意分情况讨论.
(1)已知抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为：，将点C（0，4）代入即可求解.
(2)求满足使△CDP为等腰三角形的动点P的坐标，一般地，当一等腰三角形的两腰不明确时，应分类讨论如下：如图①当PC=PD时：过点C作CE⊥DP交于点E，设CP=DP=a,由勾股定理易求，所以点；如图②当DC=DP时：即以点D为圆心，以CD的长为半径作圆，可以发现在对称轴上有两个符合条件的点，因为CD=，故DP=.所以点P的坐标为，；如图③当CD=CP时：点C在DP的垂直平分线上，过点C作CE⊥DP交于点E，此时易得DE=PE=4，所以点P的坐标为.
（3）先由求得抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得直线AC的解析式为.由于EF∥AC，可由平移设出直线EF的解析式为，此时可求得点E的坐标为．进而列方程组求出点F的坐标，最后利用得出一个关于b的二次函数，利用二次函数性质可求出是否存在满足条件的点E.

试题解析：
（1）解∵抛物线的顶点为
∴可设抛物线的函数关系式为
∵抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴    解得
∴所求抛物线的函数关系式为．
（2）解：满足条件的点P的坐标有：、、、
（3）解：存在点E能使S有最大值，最大值为3，此时点E的坐标为（1，0）．
如图，令
解得x₁＝－2，x₂＝4．
∴抛物线与x轴的交点为A(-2,0) ，B (4,0) ．
∵A（-2,0），B（4,0），C（0,4），
∴直线AC的解析式为，
直线BC的解析式为．
∵EF∥AC，
∴可设直线EF的解析式为，（-2<x<4）
令，解得，
∴点E的坐标为．
∴BE=．
解方程组 得，
∴点F的坐标为．

整理得
∴当时，S有最大值3，此时点E的坐标为（1，0）．