Question

在△ABC中，AB＝AC＝5，cos∠ABC＝，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A₁B₁C。（1）如图①，当点B₁在线段BA延长线上时。①求证：BB₁∥CA₁；②求△AB₁C的面积；

（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F₁，求线段EF₁长度的最大值与最小值的差。

Answer 1

解：（1）①证明：∵AB＝AC，B₁C＝BC ∴∠1＝∠B，∠B＝∠ACB，∵∠2＝∠ACB（旋转角相等），∴∠1＝∠2 ∴BB₁∥CA₁

②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E

  ∵AB＝AC，AF⊥BC

  ∴BF＝CF

∵cos∠ABC＝，AB＝5，

∴BF＝3

∴BC＝6

∴B₁C＝BC＝6

∵CE⊥AB

∴BE＝B₁E＝

∴BB₁＝，CE＝

∴AB₁＝，

∴△AB₁C的面积为：

（2）如图过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F₁，EF₁有最小值。

    此时在Rt△BFC中，CF＝，

∴CF₁＝，

∴EF₁的最小值为；

   如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F₁，EF₁有最大值。

   此时EF₁＝EC＋CF₁＝3＋6＝9

 ∴线段EF₁的最大值与最小值的差为。