Question

【题目】（探索发现）

如图①，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线、剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为_____________．

（拓展应用）

如图②，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，则矩形面积的最大值为_________．（用含的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形”，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料，经测量，，，且，，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且面积最大的矩形，求该矩形的面积．

Answer 1

【答案】【探索发现】；【拓展应用】；【灵活应用】720；【实际应用】2205cm2．

【解析】

（1）【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由 可得结论；
（2）【拓展应用】：设PN=b，证明△APN∽△ABC，表示PQ的长，根据矩形的面积公式得：S=bPQ=+bh，根据二次函数求最值即可；
（3）【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；
（4）【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB和tanC得BH和CH、EH的长，继而求得BE和CE的长，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．

（1）【探索发现】：设EF=x，ED=y，
∵EF、ED为△ABC中位线，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，
∴AB=2ED=2y，BC=2EF=2x，
又∠B=90°，
∴四边形FEDB是矩形，
则 ，
故答案为：；
（2）【拓展应用】：设PN=b，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，
∵BC=a，BC边上的高AD=h，
∴ ，PQ=，
∴S=bPQ=+bh，
∴S的最大值为： ；
则矩形PQMN面积的最大值为；
故答案为：；

（3）【灵活应用】：如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，

由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，
∴EH=20、DH=16，
∴AE=EH、CD=DH，
在△AEF和△HED中，
∵ ，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF=DH=16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG=HE=20，
∴BI==24，
∵BI=24＜32，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
过点K作KL⊥BC于点L，
由【探索发现】知矩形的最大面积为×BGBF=×（40+20）×（32+16）=720，
答：该矩形的面积为720；

（4）【实际应用】：如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，

∵tanB=，
设EH=4x，BH=3x，
∵tanC=2=，
∴CH=2x，
∵BC=BH+CH=105=3x+2x，x=21，
∴BH=63，CH=42，EH=84，
由勾股定理得：BE=，
∵AB=60，
∴AE=45，
∴BE的中点Q在线段AB上，
∵CD=70，
∴CE的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BCEH=×105×84=2205cm2，
答：该矩形的面积为2205cm2．