题目内容
（2003•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．给出5个论断：①CD⊥AB，②BE⊥AC，③AE=CE，④∠ABE=30°，⑤CD=BE
（1）如果论断①、②、③、④都成立，那么论断⑤一定成立吗？答：______；
（2）从论断①、②、③、④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是______（只需填论断的序号）；
（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知，求证，并加以证明．
【答案】分析：1、根据已知条件：BE⊥AC，AE=CE，BE=BE可证得△ABC是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求出结论；
2、根据（2）中的三个论断，可出证明题：
已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD⊥AB，AE=CE，∠ABE=30°，求证：CD=BE．
证明：作EF∥CD交AB于F，∵AE=CE，∴AF=FD，∴CD=2EF，∵CD⊥AB，∴EF⊥AB，在Rt△EFB中，∠EFB=90°，∠EBF=30°，∴BE=2EF．∴CD=BE．
解答：解：（1）一定；
∵BE⊥AC
∴∠BEC=∠BEA=90°
∵AE=CE BE=BE
∴△BEC≌△BEA（SAS）
∴BC=BA
又∵∠ABE=30°
∴∠CBA=60°
∴△BCA为等边三角形
又∵CD⊥AB
∴BD=AD=CE=AE
∴△BDC≌△BEA
∴CD=BE．
（2）①、③、④；
（3）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD⊥AB．AE=CE，∠ABE=30°，
求证：CD=BE．
证明：作EF∥CD交AB于F，
∵AE=CE，EF∥CD，
∴AF=FD（一组平行线在一条直线上截的线段相等，那么在其它直线上截的线段也相等），
∴CD=2EF，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB，
在Rt△EFB中，∠EFB=90°，∠EBF=30°，
∴BE=2EF，
∴CD=BE．
点评：此题的关键是要证明三角形是等腰三角形，然后根据其性质求出结论．
2、根据（2）中的三个论断，可出证明题：
已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD⊥AB，AE=CE，∠ABE=30°，求证：CD=BE．
证明：作EF∥CD交AB于F，∵AE=CE，∴AF=FD，∴CD=2EF，∵CD⊥AB，∴EF⊥AB，在Rt△EFB中，∠EFB=90°，∠EBF=30°，∴BE=2EF．∴CD=BE．
解答：解：（1）一定；
∵BE⊥AC
∴∠BEC=∠BEA=90°
∵AE=CE BE=BE
∴△BEC≌△BEA（SAS）
∴BC=BA
又∵∠ABE=30°
∴∠CBA=60°
∴△BCA为等边三角形
又∵CD⊥AB
∴BD=AD=CE=AE
∴△BDC≌△BEA
∴CD=BE．
（2）①、③、④；
（3）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD⊥AB．AE=CE，∠ABE=30°，
求证：CD=BE．
证明：作EF∥CD交AB于F，
∵AE=CE，EF∥CD，
∴AF=FD（一组平行线在一条直线上截的线段相等，那么在其它直线上截的线段也相等），
∴CD=2EF，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB，
在Rt△EFB中，∠EFB=90°，∠EBF=30°，
∴BE=2EF，
∴CD=BE．
点评：此题的关键是要证明三角形是等腰三角形，然后根据其性质求出结论．
练习册系列答案
相关题目
