Question

19．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=12，AB=CD，BD=15，点E从D点出发，以每秒4个单位的速度沿D→A→D匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CB向点B作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．
（1）试说明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离．

Answer 1

分析 （1）由AD=BC=12，AB=CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB=∠CBD，所以AD∥BC；
（2）设运动时间为t，设G点的移动距离为y，根据全等三角形的性质进行解答即可．

解答 （1）证明：在△ABD和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{AB=CD}\\{BD=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，

（2）解：设G点的移动距离为y，
∵AD∥BC，
∴∠EDG=∠FBG，
若△DEG与△BFG全等，
则有△DEG≌△BFG或△DGE≌△BFG，
可得：DE=BF，DG=BG；或DE=BG，DG=BF，
①当E由D到A，
即0＜t≤3时，有4t=12-t，解得：t=2.4，
∵y=15-y，
∴y=7.5，
或4t=y，解得：t=1，
∵12-t=15-y，∴y=4，
②当F由A返回到D，即3＜t≤6时，有24-4t=12-t，解得：t=4，
∵y=15-y，∴y=7.5，
或24-4t=y，解得：t=4.2
∵12-t=15-y，y=7.2，
综上可知共有四次，移动的时间分别为1秒、2.4秒、4秒、4.2秒，
移动的距离分别为4、7.5、7.5、7.2．

点评 本题主要考查三角形全等的判定和性质，平行线的判定，根据全等三角形的性质列方程求解，第（2）题解题的关键是利用好三角形全等解得．