Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，l是过点A的直线，BD⊥直线l于点D，CE⊥直线l于点E
（1）若点B，C在直线l的同侧（如图1所示），且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若点B，C在直线l的两侧（如图2所示），其他条件不变，（1）中结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；
（2）结论仍然成立，证明方法类似．

解答 （1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）．
∴∠DAB=∠ECA，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∴∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．

（2）解：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）．
∴∠DAB=∠ECA，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∴∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质和判定等知识，证明三角形全等是解决问题的关键．