Question

10．如图，∠BCA=∠CDA=90°
（1）求证：CD²=BD•DA；
（2）若AC=3，BC=4，求BD，DA的长．

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质得到∠B=∠ACD，推出△BCD∽△ACD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5，通过△BDC∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，于是得到BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{16}{5}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠BCA=∠CDA=90°，
∴∠B+∠BCD=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△BCD∽△ACD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，
∴CD²=BD•DA；

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∵∠BDC=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDC∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{16}{5}$，
∴AD=AB-BD=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．