题目内容

精英家教网已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，E是AB的中点，过E点作射线EF∥BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程x2-4x+a2+2a+5=0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿射线AB由点A向点B运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t．
（1）求线段AB、AD的长；
（2）如果t＞1，DP与EF相交于点N，求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；
（3）当t＞0时，是否存在△DPQ是直角三角形的情况？如果存在请求出时间t；如果不存在，说明理由．
分析：（1）根据两根相等可得出判别式等于零，从而可得出AB和AD的长度．
（2）过点P作PM⊥DA，交DA的延长线于M，过点D作DK⊥EF，求出表示△DPQ的面积S需要的线段长度，然后利用三角形的面积表达式可得出两者的关系．
（3）直角三角形，因为不确定哪个角是直角，所以需要分类讨论，注意不要漏解．
解答：解：（1）根据题意可知，△=42-4（a2+2a+5）=-4（a+1）2=0，
∴a=-1，
原方程可化为：x2-4x+4=0，
∴x1=x2=2，
∴AD=AB=2．

（2）过点A作AH⊥BC于点H，过点P作PM⊥DA，交DA的延长线于M，过点D作DK⊥EF，
∵∠A=120°，AD∥BC且AD=AB=2，
∴∠B=60°，AH=
3
，
∵E是AB中点，且EF∥BC，精英家教网
∴AN=DK=
3
2
，
∵AP=t，
∴PM=
3
2
t，
∵t＞1 AE=1，
∴P在E的下方，
∴PS=
3
2
t-
3
2
，
∵E是AB中点，AD∥EF，AB=2，
∴
EN
AD
=
PE
PA
，
∴EN=
2(t-1)
t
，
∴QN=2t-
2(t-1)
t
，
∴S△DPQ=
1
2
(2t-
2(t-1)
t
)(
3
2
t-
3
2
+
3
2
)，
=
3
2
t2-
3
2
t+
3
2
S=
3
2
t2-
3
2
t+
3
2
，

（3）根据题意可知：AM=
1
2
t，
∴DM=2+
1
2
t，
∴DP2=（DM）2+（PM）2，
DP2=(2+
1
2
t)2+(
3
2
t)2
DP2=t2+2t+4，
根据勾股定理可得：
DQ2=(
3
2
)2+(2t-2-
1
2
)2
DQ2=(
3
2
)2+(2t-2-
1
2
)2=4t2-10t+7，
PQ2=QS2+PS2=(2t+
t-1
2
)2+(
3
(t-1)
2
)2，
PQ2=7t2-4t+1，
①当∠PDQ=90°，PQ2=DQ2+PD2
7t2-4t+1=4t2-10t+7+t2+2t+4，
解之得：t=
6
-1（舍负），
②当∠DPQ=90°，DQ2=PQ2+PD2
4t2-10t+7=7t2-4t+1+t2+2t+4，
解之得：t=
6
2
-1（舍负），
③当∠DQP=90°，PD2=DQ2+PQ2，
t2+2t+4=7t2-4t+1+4t2-10t+7，
解之得：t=
4±
6
5
，
综上，当t=
4±
6
5
，t=
6
2
-1，t=
6
-1时△DPQ是直角三角形．
点评：本题考查了梯形及一元二次方程的结合，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是将题目分解，一步一步的得出解答此题需要的条件，切忌手忙脚乱无从下手．
练习册系列答案
相关题目
7、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD相交于O点，∠BCD=60°，则下列说法错误的是（　　）
精英家教网已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD=2
3
，AE为梯形的高，且BE=1，则AD=
 
．
精英家教网如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．
（1）求证：AE⊥BD；    （2）若AD=4，BC=14，求EF的长．
24、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=45°，它的高为2cm，中位线长为5cm，则上底AD等于
3
cm．
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，AD=3，BC=7，则腰AB=
4
4
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网