Question

已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）若∠EOD=30°，求CE的长．

Answer 1

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

分析：

（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等；

（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

在△AOE和△COF中，，

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，

∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，

∵∠EOD=30°，

∴∠AOE=90°﹣30°=60°，

∴∠AEF=180°﹣∠BOD﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°，

∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，

∴OD=AD=×2=1，

∴AO===，

∴AE=CF=×=，

∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，

∴高EF=2×=，

在Rt△CEF中，CE===．

点评：

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，（2）求出△CEF是直角三角形是解题的关键，也是难点．