题目内容
已知四边形ABCD是正方形,M、N分别是边BC、CD上的动点,正方形ABCD的边长为4cm.
(1)如图①,O是正方形ABCD对角线的交点,若OM⊥ON,求四边形MONC的面积;
(2)如图②,若∠MAN=45°,求△MCN的周长.
(1)如图①,O是正方形ABCD对角线的交点,若OM⊥ON,求四边形MONC的面积;
(2)如图②,若∠MAN=45°,求△MCN的周长.
分析:(1根据正方形性质得出OC=OB,∠DCO=∠CBO=45°,∠COB=90°,求出∠NOC=∠BOM,根据ASA证△NOC≌△MOB,得出四边形MONC的面积等于三角形COB的面积,根据正方形的面积求出即可;
(2)延长CB到Q使BQ=DN,连接AQ,根据SAS证△DAN≌△BAQ,求出AN=AQ,∠DAN=∠BAQ,求出∠NAM=∠MOQ=45°,根据SAS证△NAM≌△QAM,推出DN+BM=MN,根据三角形的周长得出△CNM的周长等于DC+BC,代入求出即可.
(2)延长CB到Q使BQ=DN,连接AQ,根据SAS证△DAN≌△BAQ,求出AN=AQ,∠DAN=∠BAQ,求出∠NAM=∠MOQ=45°,根据SAS证△NAM≌△QAM,推出DN+BM=MN,根据三角形的周长得出△CNM的周长等于DC+BC,代入求出即可.
解答:(1)解:∵四边形ABCD是正方形,
∴OC=OB,∠DCO=∠CBO=45°,∠COB=90°,
∵ON⊥OM,
∴∠NOM=90°,
∴∠COB-∠COM=∠NOM-∠COM,
∴∠CON=∠BOM,
∵在△CON和△BOM中
,
∴△CON≌△BOM(ASA),
∴S△NCO=S△BOM,
∴S四边形MONC
=S△NOC+S△COM
=S△BOM+S△COM
=S△COB=
S正方形ABCD
=
×4cm×4cm
=4cm2,
答:四边形MONC的面积是4cm2.
(2)
解:延长CB到Q,使BQ=DN,连接AQ,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABQ=90°,
∵在△ADN和△ABQ中
,
∴△ADN≌△ABQ(SAS),
∴∠DAN=∠BAQ,AN=AQ,
∵∠DAB=90°,∠MAN=45°,
∴∠DAN+∠BAM=45°,
∴∠BAM+∠QAB=45°,
即∠MAN=∠MAQ,
∵在△MAN和△MAQ中
,
∴△MAN≌△MAQ,
∴MN=MQ=DN+BM,
∴△MCN的周长是:CN+MN+CM
=CN+DN+BM+CM
=DC+BC
=4cm+4cm
=8cm.
∴OC=OB,∠DCO=∠CBO=45°,∠COB=90°,
∵ON⊥OM,
∴∠NOM=90°,
∴∠COB-∠COM=∠NOM-∠COM,
∴∠CON=∠BOM,
∵在△CON和△BOM中
|
∴△CON≌△BOM(ASA),
∴S△NCO=S△BOM,
∴S四边形MONC
=S△NOC+S△COM
=S△BOM+S△COM
=S△COB=
1 |
4 |
=
1 |
4 |
=4cm2,
答:四边形MONC的面积是4cm2.
(2)
解:延长CB到Q,使BQ=DN,连接AQ,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABQ=90°,
∵在△ADN和△ABQ中
|
∴△ADN≌△ABQ(SAS),
∴∠DAN=∠BAQ,AN=AQ,
∵∠DAB=90°,∠MAN=45°,
∴∠DAN+∠BAM=45°,
∴∠BAM+∠QAB=45°,
即∠MAN=∠MAQ,
∵在△MAN和△MAQ中
|
∴△MAN≌△MAQ,
∴MN=MQ=DN+BM,
∴△MCN的周长是:CN+MN+CM
=CN+DN+BM+CM
=DC+BC
=4cm+4cm
=8cm.
点评:本题考查了正方形性质,全等三角形的性质和判定的应用,关键是考查学生的推理能力,题目具有一定的代表性,是一道综合性比较强的题目,有一定的难度.
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