题目内容
已知四边形ABCD是正方形,M、N分别是边BC,CD上的动点.
(1)如图①,设O是正方形ABCD对角线的交点,若OM⊥ON,求证:BM=CN,
(2)在(1)的条件下,若正方形ABCD的边长为4cm,求四边形MONC的面积;
(3)如图②,若∠MAN=45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半.
(1)如图①,设O是正方形ABCD对角线的交点,若OM⊥ON,求证:BM=CN,
(2)在(1)的条件下,若正方形ABCD的边长为4cm,求四边形MONC的面积;
(3)如图②,若∠MAN=45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半.
分析:(1)由正方形的性质可以得出△BOM≌△CON,由全等三角形的性质就可以得出ON=OM;
(2)由全等可以得出S△BOM=S△CNF,就可以得出S四边形MONC=S△BOC,S△BOC的面积就可以得出结论;
(3)绕点A顺时针旋转△ADN90°得到△ABE,得出△ABE≌△ADN,由全等三角形的性质可以得出△ANM≌△AEM,进而有MN=ME=MB+BE,分别表示出C△MNC=DN+MB+MC+CN=DC+BC=2BC.C正方形ABCD=AB+BC+CD+AD=4BC.从而可以得出结论.
(2)由全等可以得出S△BOM=S△CNF,就可以得出S四边形MONC=S△BOC,S△BOC的面积就可以得出结论;
(3)绕点A顺时针旋转△ADN90°得到△ABE,得出△ABE≌△ADN,由全等三角形的性质可以得出△ANM≌△AEM,进而有MN=ME=MB+BE,分别表示出C△MNC=DN+MB+MC+CN=DC+BC=2BC.C正方形ABCD=AB+BC+CD+AD=4BC.从而可以得出结论.
解答:解:(1)证明:∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O
∴∠BOC=90°,∠OBC=∠OCD=45°,OB=OC,.AB=BC=DC=AD.
∵∠EOF=90°
∵∠BOM+∠MOC=90°,
∠NOC+∠MOC=90°
∴∠BOM=∠CON.
在△OBM和△OCN中,
,
△OBM≌△OCN(ASA).
∴OM=ON;
(2)∵△OBM≌△OCN,
∴S△OBM=S△OCN.
∴S△OBM+S△MOC=S△OCN+S△MOC,
即S△OBC=S四边形MONC.
∵S△OBC=4×4×
=4,
∴S四边形MONC=4;
(3)绕点A顺时针旋转△ADN90°得到△ABE,
∴△ABE≌△ADN,
∴∠4=∠1.AE=AN,BE=DN.
∵∠2=45°,
∴∠1+∠3=45°.
∵∠4+∠3=∠MAE=45°.
∴∠MAE=∠2.
在△ANM和△AEM中,
,
∴△ANM≌△AEM(SAS),
∴MN=ME=MB+BE,
∴MN=DN+MB.
∵C△MNC=MN+MC+CN,
∴C△MNC=DN+MB+MC+CN=DC+BC=2BC.
∵C正方形ABCD=AB+BC+CD+AD=4BC.
∴△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半.
∴∠BOC=90°,∠OBC=∠OCD=45°,OB=OC,.AB=BC=DC=AD.
∵∠EOF=90°
∵∠BOM+∠MOC=90°,
∠NOC+∠MOC=90°
∴∠BOM=∠CON.
在△OBM和△OCN中,
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△OBM≌△OCN(ASA).
∴OM=ON;
(2)∵△OBM≌△OCN,
∴S△OBM=S△OCN.
∴S△OBM+S△MOC=S△OCN+S△MOC,
即S△OBC=S四边形MONC.
∵S△OBC=4×4×
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∴S四边形MONC=4;
(3)绕点A顺时针旋转△ADN90°得到△ABE,
∴△ABE≌△ADN,
∴∠4=∠1.AE=AN,BE=DN.
∵∠2=45°,
∴∠1+∠3=45°.
∵∠4+∠3=∠MAE=45°.
∴∠MAE=∠2.
在△ANM和△AEM中,
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∴△ANM≌△AEM(SAS),
∴MN=ME=MB+BE,
∴MN=DN+MB.
∵C△MNC=MN+MC+CN,
∴C△MNC=DN+MB+MC+CN=DC+BC=2BC.
∵C正方形ABCD=AB+BC+CD+AD=4BC.
∴△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半.
点评:本题考查了正方形的性质的运用,三角形的周长和正方形的周长的运用,全等三角形的判定及性质的运用,旋转的性质的运用,解答时证明三角形全等得出OM=ON是关键.
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