Question

问题解决
如图（1），已知，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC上．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．求证：CF=BD；
问题变式
如图（2），当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF、BC、CD三条线段之间的关系并说明理由；
问题拓展
如图（3），已知，点D是等边△ABC的边BC延长线上的一点，连接AD，以AD为边作菱形ADEF，并且使∠FAD=60°，CF垂直平分AD，猜想CG与FG之间的数量关系并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，从而得证；
（2）与（1）同理可得BD=CF，从而求出CF=BC+CD；
（3）依据线段的垂直平分线的性质得出AC=DC，从而得出∠CAD=30°，得出∠CAF=90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．

解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC   ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD．

（2）CF=BC-CD，
理由：∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAD=∠CAF，
在△BAD于△CAF中

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴AD=CF，
∴CF=BC+CD．

（3）CG=

1

3

GF，
∵CF垂直平分AD，
∴AC=DC，
∴∠CAD=∠CDA，
在等边△ABC中∠ACB=60°，
∴∠CAD=∠CDA=30°，
∴在RT△ACG中，CG=

1

2

AC
∵∠FAD=60°，
∴∠AFG=30°，
∴∠CAF=90°，
∴在RTACF中，AC=

1

2

CF，
∴CG=

1

4

CF，
∴CG=

1

3

FG．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质以及30°角所对的直角边等于斜边的一半．（3）得出∠CAF=90°是本题的关键．