Question

如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，D、E分别是AB、AC上的动点，在边AC上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似．
（1）当AD=2时，求AE的长；
（2）当AD=3时，求AE的长；
（3）通过上面两题的解答，你发现了什么？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）分为两种情况，画出图形，根据相似得出比例式，代入求出即可；
（2）根据题意画出图形，根据相似得出比例式，代入求出即可；
（3）根据（1）（2）的结果得出答案即可．

解答：解：（1）分为两种情况：

①如图1，∵∠A=∠A，
∴当

AD

AB

=

AE

AC

时，△ADE和△ABC相似，
∴代入得：

2

4

=

AE

3

，
解得：AE=

3

2

；
②如图2，∵∠A=∠A，
∴当

AD

AC

=

AE

AB

时，△ADE和△ACB相似，
∴代入得：

2

3

=

AE

4

，
解得：AE=

8

3

，
综合上述：AE的长为

3

2

或

8

3

；

（2）∵AD=3=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴要使△ADE和△ABC相似，只有一种情况：

AD

AB

=

AE

AC

，
∴代入得：

3

4

=

AE

3

，
解得：AE=

9

4

；

（3）答案不唯一，当AD≤

9

4

时，AE的长有两种情形．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意要进行分类讨论，题目比较典型，比较容易出错．