Question

问题背景：△AOB、△COD是两个等腰直角三角形，现将直角顶点以及两直角边都重合在一起，如图1所示，点P是CD中点，连接BP并延长到E使PE=BP，连接EC，作平行四边形ACEF，小林针对平行四边形ACEF形状进行了如下探究：

观察操作：（1）小林先假设小等腰直角三角形的直角边非常小，这时三角形可以看作一个点，如图2所示，并提出猜想四边形ACEF是　　　　　　；

猜想证明：（2）小林对比图1和图2的情形，完成了（1）中的猜想，请借助图1帮他证明这个猜想．

拓展延伸：（3）如图3所示，现将等腰直角三角形COD绕点O逆时针旋转一定角度，其它条件都不改变，原来结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）根据已知直接证明有一个直角且邻边相等即可；

（2）通过证明三角形CEP和三角形DBP全等，结合等量代换即可证明；

（3）与（2）同理可证EC=DB，EC∥DB，进一步证明△AOC≌△BOD，结合等量代换和平行线的性质即可解答．

【解答】解：（1）正方形；

如图2，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴∠AOE=90°，AO=BO，

∵OE=BO，

∴AO=OE，

∴平行四边形ACEF是正方形；

（2）如图1，

∵P是CD的中点，

∴PC=PD，

在△CPE和△BPD中，

，

∴△CPE≌△BPD，

∴EC=DB，

∵OA=OB，OC=OD，

∴AC=DB，

∴EC=AC，

∴平行四边形ACEF是菱形，

∵△CPE≌△BPD，

∴∠CEP=∠DBP，

∴EC∥OB，

∵∠O=90°，

∴∠ACE=90°，

∴菱形ACEF是正方形；

（3）如图3，

与（2）同理可证△CPE≌△BPD，

∴EC=DB，EC∥DB，

∵∠AOC+∠COB=∠COB+∠DOB=90°，

∴∠AOC=∠DOB，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD，

∵∠COD=90°，

∴△AOC可以看作△BOD顺时针绕点O旋转90°得到，

∴AC⊥DB，AC=DB，

∴EC=AC，

∴平行四边形ACEF是菱形，

∵EC∥DB，

∴AC⊥EC，

∴菱形ACEF是正方形．

【点评】此题主要考查几何变换中的旋转，在旋转中找到并证明全等三角形，并灵活运用全等三角形的性质进行推理是解题的关键．