Question

15．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与$\widehat{AB}$交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作$\widehat{CE}$交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$．（结果保留π）

Answer 1

分析 连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S_空白ADC即可求出阴影部分的面积．

解答 解：如图，连接OD，AD，
∵点C为OA的中点，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△ADO为等边三角形，
∴S_扇形AOD=$\frac{60π{×4}^{2}}{360}$=$\frac{8}{3}$π，
∴S_阴影=S_扇形AOB-S_扇形COE-（S_扇形AOD-S_△COD）
=$\frac{120π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{120π•{2}^{2}}{360}$-（$\frac{8}{3}$π-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$）
=$\frac{16}{3}$π-$\frac{4}{3}$π-$\frac{8}{3}$π+2$\sqrt{3}$
=$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$．
故答案为$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$．