Question

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠ACF=90°；
（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求

AE

的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）利用ABE≌△EHF求证BE=FH，
（2）由BE=FH，AB=EH，推出CH=FH，得到∠HCF=45°，由四边形ABCD是正方形，所以∠ACB=45°，得出∠ACF=90°，
（3）作CP⊥EF于P，利用相似三角形△CPE∽△FHE，求出EF，利用公式求出

AE

的长．

解答：解：（1）BE=FH．
证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，
∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠HEF=∠BAE，
在△ABE和△EHF中，

∠FHE=∠EBA ∠HEF=BAE AE=EF

，
∴△ABE≌△EHF（AAS）
∴BE=FH．

（2）由（1）得BE=FH，AB=EH，
∵BC=AB，
∴BE=CH，
∴CH=FH，
∴∠HCF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=180°-∠HCF-∠ACB=90°．

（3）由（2）知∠HCF=45°，∴CF=

2

FH．
∠CME=∠HCF-∠CEF=45°-15°=30°．
如图2，过点C作CP⊥EF于P，则CP=

1

2

CF=

2

2

FH．

∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，
∴△CPE∽△FHE．
∴

CP

FH

=

EC

EF

，即

2 2 FH

FH

=

4

EF

，
∴EF=4

2

．
∵△AEF为等腰直角三角形，∴AF=8．
取AF中点O，连接OE，则OE=OA=4，∠AOE=90°，
∴

AE

的弧长为：

90×π×4

180

=2π．

点评：本题主要考查圆的综合题，解题的关键是直角三角形中三角函数的灵活运用．