Question

9．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴的正半轴上，OA=AB，边OB的中点C在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，将△OAB沿OB翻折后，点A的对应点A′，正好落在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，△OAB的面积为6，则k为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 过点A′作A′E⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BM⊥x轴于点M，根据OA=AB结合翻折的特性可知∠A′BO=∠AOB，四边形OABA′为菱形，由菱形的性质结合点C为线段OB的中点可得出S_△OA′E=S_△ABM，再根据反比例函数系数k的几何意义和三角形面积公式即可得出$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{1}{4}$（6+$\frac{1}{2}$|k|），解之结合反比例函数在第一象限有图象即可得出k值．

解答 解：过点A′作A′E⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BM⊥x轴于点M，如图所示．
∵OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，
由翻折的性质可知：∠A′BO=∠ABO，A′B=AB，A′O=AO，
∴∠A′BO=∠AOB，四边形OABA′为菱形，
∴A′B∥OA．
∵点C是线段OB的中点，A′E⊥x轴，CF⊥x轴，BM⊥x轴，
∴A′E=BM=2CF，OE=AM，OM=2OF，
∴S_△OA′E=S_△ABM．
∵点A′、C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴S_△OCF=S_△OA′E=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{1}{4}$S_△OBM=$\frac{1}{4}$（S_△OAB+S_△ABM），即$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{1}{4}$（6+$\frac{1}{2}$|k|），
解得：k=±4，
∵反比例函数在第一象限有图象，
∴k=4．
故选D．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、菱形的判定、平行线的性质以及三角形的面积公式，根据反比例函数系数k的几何意义和三角形面积公式找出$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{1}{4}$（6+$\frac{1}{2}$|k|）是解题的关键．