Question

（2012•高邮市二模）如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是（1，2

3

）、（4，0）、（3，2

3

），点M是AD的中点．
（1）求证：四边形AOCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段OC和MC上运动，且保持∠MPQ=60°不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中：试探究当点P从点O首次运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长．

Answer 1

分析：（1）根据点A、D的纵坐标相等可以得出AD∥OC，再根据两点之间的距离公式可以求出AO、AD和DC的值，从而得出结论；
（2）由条件可以求出△MOC是等边三角形，由等边三角形的性质可以耳朵出∠MOC=∠MCO=60°，由条件可以得出∠MPO=∠PQC，可以得出△OMP∽△CPQ，由相似三角形的性质可以求出结论；
（3）根据（2）的解析式可以求出y的最值，可以求出当x=2时，可以求出MQ的值，可以求出Q点运动路径长，当OP=3时，x=1，可以求出MQ的值，从而可以得出结论．

解答：解：（1）∵A（1，2

3

）、D（3，2

3

），
∴AD∥OC，
由两点间的距离公式可以求出OA=

13

，DC=

13

，
∴OA=DC．
∵AD=2，OC=4，
∴AD≠OC
∴梯形AOCD是等腰梯形；
（2）∵M是AD的中点，
∴AM=DM=1，
∴M（2，2

3

），
由两点间的距离公式可以求出MO=MC=4．
∵OC=4，
∴OM=OC=MC=4
∴△OMC是等边三角形，
∴∠MOP=∠QCP=60°．
∵∠MPQ=60°，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°
∴∠2=∠3，
∴△OMP∽△CPQ
∴

OM

PC

=

OP

CQ

即

4

x

=

4-x

4-y

∴y=

1

4

x2-x+4（0≤x≤4）；
（3）∵y=

1

4

x2-x+4，
∴y=

1

4

(x-2)2+3，
∴x=2时，y_最大=3  即MQ=3．
当OP=3时，x=1，y=

13

4

即，MQ=

13

4

，
∴当0≤x≤2时，Q点运动路径长为4-3=1
当2＜x≤3时，Q点运动路径长为

13

4

-3=

1

4

∴当P点从O点运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长为1+

1

4

=

5

4

个单位．

点评：本题考查了等腰梯形的判定方法的运用，等边三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出三角形MOC是等边三角形是关键，求Q点运动的路径长是难点．