Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（-3，4），反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（　　）

• A． $-\frac{50}{3}$
• B． $-\frac{25}{2}$
• C． -12
• D． $-\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出OC=5，再利用菱形的性质得到AC=OB=OC=5，AC∥OB，则B（-5，0），A（-8，4），接着利用待定系数法确定直线OA的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，则可确定D（-5，$\frac{5}{2}$），然后把D点坐标代入y=$\frac{k}{x}$中可得到k的值．

解答 解：∵C（-3，4），
∴OC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵四边形OBAC为菱形，
∴AC=OB=OC=5，AC∥OB，
∴B（-5，0），A（-8，4），
设直线OA的解析式为y=mx，
把A（-8，4）代入得-8m=4，解得m=-$\frac{1}{2}$，
∴直线OA的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，
当x=-5时，y=-$\frac{1}{2}$x=$\frac{5}{2}$，则D（-5，$\frac{5}{2}$），
把D（-5，$\frac{5}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-5×$\frac{5}{2}$=-$\frac{25}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了菱形的性质．