Question

19．如图，E是正方形ABCD内一点，EA=AB=BE．延长DE交BC于F，FG⊥BE于G．求证：EG=FG．

Answer 1

分析 根据已知条件可知△ABE是等边三角形，△ADE是等腰三角形，进而可以求出∠FEG=45°即可解决问题．

解答 证明：∵EA=AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=∠AEB=60°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AB=AD
∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=90°-60°=30°，
∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠FEG=180°-∠AED-∠AEB=45°，
∵FG⊥BE，
∴∠EGF=90°，
∴∠EFG=90°-∠FEG=45°，
∴∠GEF=∠GFE，
∴EG=FG．

点评 本题考查等边三角形性质、正方形性质、等腰三角形性质等知识，求出∠GEF=45°是解题的关键．