Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于E．

（1）求证DE⊥BC；

（2）若⊙O的半径为5，BE＝2，求DE的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝4

【解析】

（1）连接OD ，DE是切线，则OD⊥DE，则OD是△ABC的中位线，可得OD∥BC，据此即可求证；

（2）过B作OD的垂线，垂足为F，证明四边形DFBE为矩形，Rt△OFB中用勾股定理即可求得DE的长度.

证明（1）连接OD

∵DE切⊙O于点D

∴OD⊥DE

∴∠ODE＝90°

∵D是AC的中点，O是AB的中点

∴OD是△ABCD的中位线

∴OD∥BC

∴∠DEC＝90°

∴DE⊥BC

（2）过B作BF⊥OD

∵BF⊥OD

∴∠DFB＝90°

∴∠DFB＝∠DEB＝∠ODE＝90°

∴四边形DFBE为矩形

∴DF＝BE＝2

∴OF＝OD－DF＝5－2＝3

∴DE＝BF＝4