Question

已知，、是过点的射线，射线、分别平分 和．
（1）如图①，若、是的三等分线，则       °

（2）如图②，若，，则       °

（3）如图③，在内，若（），则       °

（4）将（3）中的绕着点逆时针旋转到的外部（，），求此时的度数．

Answer 1

（1） ；（2）；（3）；（4）或

试题分析：（1）根据，、是的三等分线，再结合射线、分别平分 和即可求得结果；
（2）由，，可得∠AOC+∠DOB的度数，再根据射线、分别平分 和可得∠MOC+∠DON的度数，从而求得结果；
（3）由，，可表示∠AOC+∠DOB的度数，再根据射线、分别平分 和可表示∠MOC+∠DON的度数，从而得到结果；
（4）做射线OA、OB的反向延长线、，分五种情况：①射线OD在内，，③在内部，④OC与重合，⑤OC在内部，根据三等分线及角平分线的性质分析即可.
（1）∵，、是的三等分线
∴∠AOC=∠DOB=
∵射线、分别平分 和
∴∠MOC=∠DON=20°
∴∠MOC+∠COD+∠DON=；
（2）∵，
∴∠AOC+∠DOB=
∵射线、分别平分 和
∴∠MOC+∠DON=40°
∴∠MOC+∠COD+∠DON=；
（3）∵，
∴∠AOC+∠DOB=
∵射线、分别平分 和
∴∠MOC+∠DON=
∴∠MOC+∠COD+∠DON=；
（4）做射线OA、OB的反向延长线、
①射线OD在内
设,则

②

③

④OC与重合
∠BON=∠BOD=(60º+α)="∠DON"
∠CON=∠DON-∠DOC=(60º+α)-α=30º-α
∠M′ON=90º-∠CON=90º-30º-α=60º+α
∠MON=180º-∠M′ON=180º-(60º+α)=120º-α
⑤OC在内部
设∠AOD为x
∠COM=∠AOC=(α+x)
∠BON=∠BOD=(120º+x)
∠MON=∠BOC-∠BON-∠COM=120º+x+α-(120º+x)-(α+x)=60º+α
点评：解答本题的关键是熟练掌握角的平分线把角分成的两个小角相等，均等于大角的一半；同时注意本题要有整体意识.