Question

【题目】如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO=CO=4，BO=DO=3，点P为线段AC上的一个动点.过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N. 连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于_________ .

Answer 1

【答案】7.8

【解析】

在△ADO中，由勾股定理可求得AD=5，由AC⊥BD，AO=CO，可知DO是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知AD=DC；利用面积法可证得PM+PN为定值，当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，由垂线的性质可知当点P与点O重合时，OB有最小值．

∵AC⊥BD于点O，AO=CO=4，BO=DO=3，

∴在Rt△AOD中，

AD=，

∵AC⊥BD于点O，AO=CO，
∴CD=AD=5，

如图所示：连接PD，

∵，

∴，即，

∴PM+PN=4.8，

∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，
∵由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短．
∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小，最小值=．

故答案为：．