Question

9．直线y=$\frac{3}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$的交点A的横坐标为2
（1）求k的值
（2）如图，过点P（m，3）（m＞0）作x轴的垂线交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于点M，交直线OA于点N
①连接OM，当OA=OM时，直接写出PN-PM的值
②试比较PM与PN的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先求出点A坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）①分两种情形讨论求解．
②分三种情形讨论求解a、m=2．b、0＜m＜2，C、m＞2．分别利用求差法比较大小即可．

解答 解：（1）∵点A在直线y=$\frac{3}{2}$x上，且A点的横坐标为2，
∴y=$\frac{3}{2}$×2=3，
∴A（2，3），把A（2，3）代入y=$\frac{k}{x}$，可得k=6，
∴k=6．

（2）①当M与A重合时，PN-PM=0，
当M（3，2）时，P（3，3），N（3，$\frac{9}{2}$），
∴PN-PM=（$\frac{9}{2}$-3）-（3-2）=$\frac{1}{2}$，
综上所述PN-PM=0或$\frac{1}{2}$．
②∵PM⊥x轴，P（m，3），
∴N（3，$\frac{3}{2}$m），M（m，$\frac{6}{m}$）．
∴PN=|$\frac{3}{2}$m-3|，PM=|$\frac{6}{m}$-3|，
当P、M、N三点重合时，PM=PM=0．
当0＜m＜2时，PM=$\frac{6}{m}$-3，PN=3-$\frac{3}{2}$m，
PM-PN=$\frac{6}{m}$-3-（3-$\frac{3}{2}$m）=$\frac{6}{m}$-6+$\frac{3}{2}$m=6（$\frac{1}{\sqrt{m}}$-$\frac{\sqrt{m}}{2}$）²＞0，
∴PM＞PN．
当m＞2时，PM=3-$\frac{6}{m}$，PN=$\frac{3}{2}$m-3，
PM-PN=3-$\frac{6}{m}$-（$\frac{3}{2}$m-3）=-$\frac{6}{m}$+6-$\frac{3}{2}$m=-6（$\frac{1}{\sqrt{m}}$-$\frac{\sqrt{m}}{2}$）²＜0，
∴PM＜PN，
综上所述，当m=2时，PM=PN，当0＜m＜2时，PM＞PN，当m＞2时，PM＜PN．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．