Question

2．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点D是⊙O外一点，∠DCA=∠B．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OD∥BC，且OD=5，BC=2．求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，即∠OCB+∠OCA=90°，加上∠B=∠OCB，∠DCA=∠B，则∠OCA+∠DCA=90°，即∠OCD=90°，于是根据切线的判定定理即可得到DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，根据平行线的性质，由OD∥BC得到∠COD=∠OCB，而∠B=∠OCB，所以∠B=∠COD，于是根据相似三角形的判定方法得到Rt△ABC∽Rt△DOC，然后利用相似的性质得$\frac{2}{r}$=$\frac{2r}{5}$，再根据比例性质求出r即可．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠OCB+∠OCA=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
而∠DCA=∠B，
∴∠OCB=∠DCA，
∴∠OCA+∠DCA=90°，即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OD∥BC，
∴∠COD=∠OCB，
而∠B=∠OCB，
∴∠B=∠COD，
∴Rt△ABC∽Rt△DOC，
∴$\frac{BC}{OC}$=$\frac{AB}{OD}$，即$\frac{2}{r}$=$\frac{2r}{5}$，解得r=$\sqrt{5}$，
即⊙O的半径为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．