Question

17．已知：如图，O是四边形ABCD的对角线BD的中点，AB∥CD．
（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）若AC=10，BD=24，AB=13，则四边形ABCD是什么四边形？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABD=∠CDB，再由BO=DO，∠AOB=∠COD，利用ASA可证得结论；
（2）利用勾股定理逆定理可得△ABO为直角三角形，即AC⊥BD，又AO=CO，BO=DO，易得四边形ABCD是正方形．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵O是四边形ABCD的对角线BD的中点，
∴BO=DO，
在△AOB与△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠CDO}\\{BO=DO}\\{∠AOB=∠COD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COD（ASA）；

（2）解：四边形ABCD是正方形；
∵△AOB≌△COD，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC=10，BD=24，
∴AO=CO=5，BO=DO=12，
在△AOB中，
AO²+BO²=AB²，
∴△AOB为直角三角形，
∴AO⊥BO，
∴四边形ABCD是正方形．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质及判定定理和勾股定理逆定理，综合运用各定理是解答此题的关键．