Question

7．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）²-（a-b）²，则下列结论：
①若a@b=0，则a=0或b=0
②a@（b+c）=a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b=a²+5b²
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．
其中正确的是（　　）

• A． ②③④
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．

解答 解：①根据题意得：a@b=（a+b）²-（a-b）²
∴（a+b）²-（a-b）²=0，
整理得：（a+b+a-b）（a+b-a+b）=0，即4ab=0，
解得：a=0或b=0，正确；
②∵a@（b+c）=（a+b+c）²-（a-b-c）²=4ab+4ac
a@b+a@c=（a+b）²-（a-b）²+（a+c）²-（a-c）²=4ab+4ac，
∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；
③a@b=a²+5b²，a@b=（a+b）²-（a-b）²，
令a²+5b²=（a+b）²-（a-b）²，
解得，a=0，b=0，故错误；
④∵a@b=（a+b）²-（a-b）²=4ab，
（a-b）²≥0，则a²-2ab+b²≥0，即a²+b²≥2ab，
∴a²+b²+2ab≥4ab，
∴4ab的最大值是a²+b²+2ab，此时a²+b²+2ab=4ab，
解得，a=b，
∴a@b最大时，a=b，故④正确，
故选C．

点评 本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．