Question

如图，射线OA与反比例函数y₁=

k1

x

（x＞0）图象交于点D（1，2），射线OB与反比例函数y₂=-

8

x

（x＜0）的图象交于点C，且CD∥x轴．
（1）求∠AOB的度数；
（2）如图，将∠AOB绕着点O旋转一定的角度，射线OA，OB分别交反比例函数y₁，y₂的图象于M，N两点，在旋转过程中，∠OMN的度数是否会发生变化？请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）将点D的坐标代入y₁，求出k₁的值，然后根据CD∥x轴，求出点C的坐标，求得CD，OD，OC的长，由勾股定理的逆定理，即可证得△AOB是直角三角形；
（2）首先作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，设M（a，

2

a

），N（b，-

8

b

），则MF=

2

a

，OF=a，OE=-b，NE=-

8

b

，易证得Rt△ONE∽Rt△MOF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得ON：OM的值，即可求得答案．

解答：解：（1）将点D的坐标代入y₁得k₁=1，
则y₁=

2

x

，
∵CD∥x轴，
∴点C的纵坐标为2，
则点C的横坐标为：-8÷2=-4，
即C（-4，2），
∴CD=5，OD=

1+22

=

5

，OC=

22+42

=2

5

，
∴OA²+OB²=5+20=AB²，
∴∠COD=90°，
即∠AOB=90°；

（2）不变化．理由如下：
作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，如图所示，
设M（a，

2

a

），N（b，-

8

b

），
则MF=

2

a

，OF=a，OE=-b，NE=-

8

b

，
∵∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y₁、y₂的图象于点M、N，
∴∠MON=90°，
∴∠NOE+∠MOF=90°，
而∠NOE+∠ONE=90°，
∴∠ONE=∠MOF，
∴Rt△ONE∽Rt△MOF，
∴

NE

OF

=

OE

MF

=

ON

OM

，
即

- 8 b

a

=

- b 2

a

，
∴a²b²=16，
∵ab＜0，
∴ab=-4，
∴

ON

OM

=-

ab

2

=-

-4

2

=2，
在Rt△OMN中，tan∠NMO=

ON

OM

=2，
∴在旋转的过程中，∠OMN的度数不变化．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和平行四边形的性质；会利用相似比进行计算．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．