Question

如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E为半径OC上一点，OC=3OE，连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M．
（1）请依题意补全图形；
（2）求证：∠AOC=∠DBC；
（3）求

BM

BC

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理,轴对称的性质

专题：计算题

分析：（1）根据题意画出相应的图形即可；
（2）根据弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，得到∠DBC=2∠ABC，再外角性质及等腰三角形的性质得到∠AOC=2∠ABC，等量代换即可得证；
（3）利用同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由（2）中结论，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AOE与三角形DBM相似，由相似得比例列出关系式，把OC=3OE，OA=OC代入，再由对称性得到BC=BD，即可求出所求式子的值．

解答：（1）解：补全图形见图；
（2）证明：∵弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，
∴∠DBC=2∠ABC，
又∵OB=OC，∠AOC为△BOC外角，
∴∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOC=∠DBC；
（3）解：∵

BF

=

BF

，
∴∠A=∠D．
又∵∠AOC=∠DBC，
∴△AOE∽△DBM，
∴

OE

OA

=

BM

BD

，
∵OC=3OE，OA=OC，
∴

BM

BD

=

OE

OA

=

OE

OC

=

1

3

，
∵弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，
∴BC=BD，
∴

BM

BC

=

BM

BD

=

1

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，以及轴对称的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．