Question

P是等边△ABC的边AB上一点，连结PC，Q、D在PC、BC上，连结BQ、DQ、AD，且∠PQB=∠BQD=∠CQD，若BQ=3，QC=6，求AD的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：如图，证明△CQD∽△CBP，△PBQ∽△PCB，得到∠PBQ=∠PCB，进而得到△CQD∽△BQP；证明CD=2BP，CD=2BD，得到BD=BP；证明△ABD≌△CBP，得到AD=PC；求出PQ，即可解决问题．

解答：解：如图，∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°；
∵∠PQB=∠BQD=∠CQD=60°，
∴△CQD∽△CBP，△PBQ∽△PCB，
∴∠PBQ=∠PCB，△CQD∽△BQP，
∴

BP

CD

=

BQ

CQ

=

1

2

，CD=2BP；
∵QD平分∠BQC，
∴

CD

BD

=

CQ

BQ

=2，
∴CD=2BD，
∴BD=BP；在△ABD与△CBP中，

AB=CB ∠ABD=∠CBP BD=BP

，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴AD=PC；
∵△PBQ∽△PCB，
∴

PQ

PB

=

BQ

BC

，即

PQ

BD

=

3

3BD

，
∴PQ=1，
∴AD=PC=1+6=7．
故答案为7．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、等边三角形的性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定等知识点，并能灵活运用．