Question

16．现有三张分别标有数字1、2、6的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a（不放回），再从中任意抽取一张，将上面的数字记为b，这样的数字a，b能使关于x的一元二次方程x²-2（a-3）x-b²+9=0有两个正根的概率为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 首先用列表法或树状图得到所有可能的结果，在根据满足条件的事件数，在整理时要借助于根与系数之间的关系，根的判别式，要进行讨论得到结果．

解答 解：画树形图得：

∵方程有两个正根，
∴由韦达定理得 2（a-3）＞0，-b²+9＞0，
解得a＞3，b＜3，
若b=2，9-b²=5 要使方程有两个正根，判别式=4（a-3）²-4×5＞0 （a-3）²＞5，解得，a=6；
若b=1，9-b²=8 判别式=4（a-3）²-4×8＞0 （a-3）²＞8，解得，a=6，
∴a，b只有两种情况满足要求：a=6，b=1，
∴能使关于x的一元二次方程x²-2（a-3）x-b²+9=0有两个正根的概率=$\frac{1}{6}$，
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．