Question

已知关于x的方程x²-kx+k²-1=0，
（1）k为何值时，方程有两个正根；
（2）k为何值时，方程有一正一负的根；
（3）k为何值时，方程仅有一个正根．

Answer 1

考点：一元二次方程根的分布

专题：

分析：（1）直接利用根与系数的关系得出关于k的不等式进而求出即可；
（2）利用根与系数的关系以及根的判别式得出关于k的不等式进而求出即可；
（3）利用根的判别式得出关于k的等式进而求出即可．

解答：解：（1）设方程x²-kx+k²-1=0有两个正根x₁，x₂，
由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得：
x₁+x₂=-（-k）＞0，x₁•x₂=k²-1＞0
解得：k＞1；

（2）设方程x²-kx+k²-1=0有两个正根x₁，x₂，
由一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式可得：
b²-4ac=k²-4k²+4＞0，x₁•x₂=k²-1＜0，
整理可得出：k²＜1，k²＜

4

3

解得：-1＜k＜1；

（3）设方程x²-kx+k²-1=0有两个正根x₁，x₂，
由一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式可得：
b²-4ac=k²-4k²+4=0，
解得：k=±

2 3

3

，当k=

2 3

3

时，方程的根为负数，故正根舍去，
则k=-

2 3

3

．

点评：本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，其中由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合已知，构造出关k的不等式组是解答本题的关键．