Question

如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交OA于点N．
（1）当时，求的值；
（2）设OM=x，ON=y，当时，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长．

Answer 1

（1）；（2）；（3）或 .

试题分析：（1）由△MFO∽△NFE和，根据相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义， 即可求得结果.
（2）由△MFO∽△NFE和△ODF∽△EOF可得，即，从而根据勾股定理可得出，即.
（3）分或两种情况讨论即可.
（1）由题意，得：∠MOF+∠FOE=90°，∠FEN+∠FOE="90°" ， ∴∠MOF=∠FEN ．
由题意，得：∠MFO+∠OFN=90°，∠EFN+∠OFN="90°" ， ∴∠MFO=∠NFE.
∴△MFO∽△NFE．∴.
由∠FEN=∠MOF可得：， ∴, ∴．
（2）∵△MFO∽△NFE , ∴.
又易证得：△ODF∽△EOF ， ∴．
∴， ∴．
如图，连接MN，则.
由题意，得四边形ODCE为矩形，∴DE="OC=4" .∴MN=2.
在Rt△MON中，,即.
∴y关于x 的函数解析式为 ．

（3）由题意，可得： OE=2y，CE=OD=2x.
∴由题意，可得： ， ∴.
∵又，∴，∴.
由题意，可得：∠NOF=∠FEC ，
∴由△ECF与△OFN相似，可得：或.
当时，，∴.
又，∴，解得：（舍去）.
∴.
②当时，，∴，
又，∴，∴解得：（舍去）
∴.
综上所述，OD=或 .