Question

18．如图，在直角坐标系xOy中，点A、B分别在x、y轴的正半轴上，OA=3，∠ABO=30°，以A点为旋转中心，把△AOB顺时针旋转，得到△ADC，旋转角记为α（0°＜α＜180°）．
（1）求B点的坐标；
（2）当旋转后点D恰好落在AB边上时（图1），求直线CD的解析式；
（3）若旋转后满足∠AOD=∠ABO，求：α的度数以及此时直线CD的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半，求出AB，再用勾股定理求出OB即可；
（2）先判断出∠ADC=90°，再用含30度角的直角三角形的性质即可求出点D的坐标，即可得出结论；
（3）先求出∠BAD=60°，进而判断出点C落在x轴上，即可求出点C的坐标，再求出点D的坐标，最后用待定系数法即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A在x轴正半轴上，且OA=3，
∴A（0，3），
在Rt△AOB中，∠ABO=30°，OA=3，
∴AB=6，OB=3$\sqrt{3}$，
∵B在y轴正半轴上，
∴B（0，3$\sqrt{3}$）；

（2）如图1，当旋转后点D恰好落在AB边上时，
由旋转知，∠ADC=∠AOB=90°，AD=OA=3，
过点D作DE⊥x轴于E，
∵∠ABO=30°，
∴∠OAB=60°，
∴∠ADE=30°，
在Rt△ADE中，AE=$\frac{3}{2}$，DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=OA-AE=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∵A（3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），
∴直线AB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
∵CD⊥AB，
∴直线CD的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；

（3）如图2，
连接OD，∵∠ABO=30°，
∴∠AOD=∠ABO=30°．∠OAB=90°-30°=60°，
由旋转知，∠CAD=∠OAB=60°，OA=AD，
∴∠ODA=∠AOD=30°，
∴∠OAD=120°，
∴∠CAD=180°-120°=60°，
∴点C在x轴得正半轴上，
∵OA=3，AC=AB=6，
∴OC=OA+AC=9，
∴C（9，0），过点D作DE⊥x轴于E，
在Rt△ADE中，AD=OA=3，∠ADE=90°-∠DAE=30°，
∴AE=$\frac{3}{2}$，DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=OA+AE=3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴D（$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=0}\\{\frac{9}{2}k+b=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3$\sqrt{3}$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了含30角的直角三角形的性质，旋转的性质，待定系数法，解（1）的关键是求出OB，解（2）的关键是求出点D的坐标，解（3）的关键是判断出点C落在x轴上，是一道中等难度的中考常考题．