Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O在AC上，OA=2，以OA为半径的⊙O交AB于点D，AC于G，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）求线段DE的长；

（3）求线段AD的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）DE=4.75（3）2.4

【解析】试题分析：（1）连接OD，欲证DE是切线，只要证明OD⊥DE即可；

（2）连接OE，设DE=BE=x，CE=8﹣x，利用勾股定理求解即可；

（3）连结BG,DG，根据三角形的面积的不同求法，然后根据勾股定理求解.

试题解析：（1）连接OD，

∵EF垂直平分BD，∴EB=ED，

∴∠B=∠EDB，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠A，

∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，

∴∠EDB+∠ODA=90°，∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE于D，∴DE是⊙O的切线．

（2）连接OE，

设DE=BE=x，CE=8﹣x，

∵OE2=DE2+OD2=EC2+OC2，

∴42+（8﹣x）2=22+x2，

解得x=4.75，

∴DE=4.75．

（3）连结BG,DG.

∵AG是直径，∴GD⊥AB

由S△ABG=AG·BC=AB·GD可得：4×8=10×GD,

∴GD=3.2

∴AD==2.4