Question

9．如图1，在边长为5的菱形ABCD中，cos∠BAD=$\frac{3}{5}$，点E是射线AB上的点，作EF⊥AB，交AC于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：AE=2EF；
（3）如图2，过点F，E，B作⊙O，连结DF，若⊙O与△CDF的边所在直线相切，求所有满足条件的AE的长度．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，由∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH=$\frac{3}{5}$，推出AH=3，DH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，即可解决问题；
（2）如图1中，BD与AC交于点G．在Rt△DHB中，可得BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，BG=DG=$\sqrt{5}$，AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，由△AEF∽△AGB，推出$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AG}{BG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2，即可解决问题；
（3）分三种情形分别求解：①如图2中，当⊙O与直线DF相切时．②如图3中，当⊙O与AC相切时．③如图4中，当⊙O与CD相切于点M．分别求解即可；

解答 （1）解：如图1中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH=$\frac{3}{5}$，
∴AH=3，DH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴S_菱形ABCD=AB•DH=5×4=20．

（2）证明：如图1中，BD与AC交于点G．
在Rt△DHB中，∵DH=4，BH=2，
∴BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BG=DG=$\sqrt{5}$，AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠EAF=∠BAG，∠AEF=∠AGB=90°，
∴△AEF∽△AGB，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AG}{BG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2，
∴AE=2EF．

（3）解：①如图2中，当⊙O与直线DF相切时，易知，∠BFD=90°，DF=BF．

∵BD=2$\sqrt{5}$，
∴BF=$\sqrt{10}$，设EF=x，则AE=2EF=2x，
在Rt△BEF中，∵BF²=EF²+BE²，
∴10=x²+（5-2x）²，
解得x=1或3，
∴AE=2或6时，⊙O与直线DF相切．
②如图3中，当⊙O与AC相切时，易知点F与G重合，设EF=x，AE=2x，

在Rt△AFE中，∵AG²=AE²+GE²，
∴20=4x²+x²，
∴x²=4，
∴x=2，
∴AE=4时，⊙O与直线CF相切．

③如图4中，当⊙O与CD相切于点M，延长MO交AE与H，设EF=x，则AE=2x，则OH=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$x，BF=$\sqrt{{x}^{2}+（2x-5）^{2}}$，

∵HM=4，
∴OM+OH=4，
∴$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+（2x-5）^{2}}$+$\frac{1}{2}$x=4，
整理得，4x²-4x-39=0，
解得x=$\frac{1+2\sqrt{10}}{2}$或$\frac{1-2\sqrt{10}}{2}$（舍弃），
∴AE=1+2$\sqrt{10}$，
综上所述，满足条件的AE的值为2或4或6或1+2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查圆综合题、菱形的性质、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．