Question

12．如图，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax²+bx+$\sqrt{3}$经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，$\sqrt{3}$），
∴OB=3，OC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠BCO=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BCO=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=30°，
∴$\frac{AO}{CO}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{AO}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得AO=1，
∴A（-1，0）；

（2）∵抛物线y=ax²+bx+$\sqrt{3}$经过A，B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+\sqrt{3}=0}\\{9a+3b+\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；

（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$DM，MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DM，
∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+$\frac{1}{2}$DM+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DM=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$DM，
∴当DM有最大值时，其周长有最大值，
∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，
∴可设M（t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$），则D（t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$），
∴DM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$），则D（t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$），
∴DM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，DM有最大值，最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
此时$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$DM=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{9\sqrt{3}+9}{8}$，
即△DMH周长的最大值为$\frac{9\sqrt{3}+9}{8}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标的交点的求法，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．