Question

11．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=2$\sqrt{3}$，DE=2，求AD的长．
（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到$\frac{CE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，解方程即可得到结论；
（3）利用三角函数求得∠DCE的度数，根据△AEC∽△CED，求得∠A的度数，则∠DIB即可求得，然后在直角△ABD中求得BD，从而求得半径，然后利用弧长公式求解．

解答 （1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O切线，
∴∠ODC=90°，
即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ODB+∠ADO=90°，
∴∠BDC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A，
∴∠BDC=∠A；

（2）∵CE⊥AE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE=∠BDC，
∵∠BDC=∠A，
∴∠A=∠DCE，
∵∠E=∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，
∴EC²=DE•AE，
∴（2$\sqrt{3}$）²=2（2+AD），
∴AD=4．

（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE=$\frac{DE}{EC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DCE=30°，
又∵△AEC∽△CED，
∴∠A=∠DCE=30°，
∴∠DOB=2∠A=60°，BD=AD•tanA=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△OBD是等边三角形，则OD=BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则弧BD的长是$\frac{60π×\frac{4\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{9}$．

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及特殊角的三角函数值，正确证明△AEC∽△CED是关键．