Question

19．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，线段CE垂直对角线AC，连接AE，点F为AE中点，连接DF并延长至点G，使FG=DF，连按BG．
（1）猜想BG与CE的关系，并证明你的猜想；
（2）求证：BG⊥AC．

Answer 1

分析 （1）结论：BG=CE，BG∥CE．连接AG、DF、EG．易证四边形ADEG是平行四边形，推出AD=EG，AD∥EG，由四边形ABCD是平行四边形，推出AD∥BC，AD=BC，推出BC=EG，BC∥EG，推出四边形BCEG是平行四边形，即可解决问题；
（2）由四边形BCEG是平行四边形，推出BG∥EC，由CE⊥AC，即可推出BG⊥AC；

解答 （1）解：结论：BG=CE，BG∥CE．
理由：连接AG、DF、EG．
∵DF=FG，AF=FE，
∴四边形ADEG是平行四边形，
∴AD=EG，AD∥EG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴BC=EG，BC∥EG，
∴四边形BCEG是平行四边形，
∴BG=CE，BG∥CE．

（2）证明：∵四边形BCEG是平行四边形，
∴BG∥EC，
∵CE⊥AC，
∴BG⊥AC．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、两直线的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．