Question

11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O交斜边AB于E，OD∥AB．求证：
（1）ED是⊙O的切线；
（2）BC•DE=BE•OD．

Answer 1

分析 （1）连结CE，OE，如图，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，由OD∥AB，点O为AC的中点，则D点为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE=DB，则∠B=∠1，而∠B+∠A=90°，∠A=∠2，所以∠1+∠2=90°，则∠OED=90°，然后根据切线的判断即可得到ED是⊙O的切线；
（2）证明Rt△OED∽△CEB，利用相似的性质得OD：BC=DE：BE，然后根据比例的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）连结CE，OE，如图，
∵AC为直径，
∴∠ACE=90°，
∵OD∥AB，点O为AC的中点，
∴D点为BC的中点，
∴DE为Rt△BEC斜边BC边上的中线，
∴DE=DB，
∴∠B=∠1，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵OA=OE，
∴∠A=∠2，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠OED=90°，
∴OE⊥DE，
∴ED是⊙O的切线；
（2）∵OD∥AB，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠B，
∴∠3=∠B，
∵∠OED=∠CEB=90°，
∴Rt△OED∽△CEB，
∴OD：BC=DE：BE，
∴BC•DE=BE•OD．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．