Question

18．如图，在等边△ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，等边三角形的边长是8．在边AB上取一点F，使AF=2，连接FD．求证：
（1）△AFD是直角三角形；
（2）DF是半圆的切线．

Answer 1

分析 （1）连结BD，根据圆周角定理得出∠BDC=90°，再根据等边三角形的三线合一的性质得AD=DC=4，∠C=∠A=∠B=60°，进而得出$\frac{AD}{BC}$=$\frac{AF}{DC}$=$\frac{1}{2}$，证得△AFD∽△CDB，证得∠AFD=∠CDB=90°，从而证得结论；
（2）连接OD，根据三角形中位线的性质定理证得OD∥AB，即可证得OD⊥DF，从而证得DF是半圆的切线．

解答 解：（1）连接BD，
∵BC是直径，
∴BD⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AD=DC=4，∠A=∠C=60°
∵AF=2，BC=8，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{AF}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△AFD∽△CDB，
∴∠AFD=∠CDB=90°，
∴△AFD是直角三角形；
（2）连接OD，
∵AD=DC，BO=CO，
∴OD∥AB，
∴∠ODF+∠BFD=180°，
∵∠AFD=∠BFD=90°，
∴∠FDO=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是半圆的切线．

点评 本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，切线的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．