Question

对于正数x，f(x)=

x

x+1

规定，例如，
f（3）=

3

1+3

=

3

4

，f（

1

3

）=

1 3

1+ 1 3

=

1

4

计算：
f（

1

2008

）+f（

1

2007

）+f（

1

2006

）+…f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）+f（2007）+f（2008）=

 

．

Answer 1

分析：首先求得f（x）+f（

1

x

）=

x

x+1

+

1

x+1

=1，即可将f（

1

2008

）+f（

1

2007

）+f（

1

2006

）+…f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）+f（2007）+f（2008）变为f（

1

2008

）+f（2008）+f（

1

2007

）+f（2007）+f（

1

2006

）+f（2006）+…+f（

1

2

）+f（2）+f（1）+f（1），则相当于2008个1相加，则可求得答案．

解答：解：∵f（x）=

x

x+1

，f（

1

x

）=

1 x

1 x +1

=

1

x+1

，
∴f（x）+f（

1

x

）=

x

x+1

+

1

x+1

=1，
∴f（

1

2008

）+f（

1

2007

）+f（

1

2006

）+…f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）+f（2007）+f（2008）=f（

1

2008

）+f（2008）+f（

1

2007

）+f（2007）+f（

1

2006

）+f（2006）+…+f（

1

2

）+f（2）+f（1）+f（1）=1+1+…+1+1=2008．
故答案为：2008．

点评：此题考查了分式的加减运算．此题难度适中，解题的关键是找到规律：f（x）+f（

1

x

）=

x

x+1

+

1

x+1

=1，然后利用规律求解．