题目内容

对于正数x，规定f（x）=
x2
1+x2
，
（1）计算f（2）=
 
；f（
3
）=
 
；f（2）+f（
1
2
）=
 
；f（3）+f（
1
3
）=
 
．
（2）猜想f（x）+f(
1
x
)=
 
；请予以证明．
分析：（1）把x=2代入所给解析式计算即可；把x=
3
代入所给解析式计算即可；把x=
1
2
代入所给解析式得到相应的结果后加上当x=2时的结果即为f（2）+f（
1
2
）的值；把x=3，x=
1
3
代入所给解析式可得相应的函数值，相加即为f（3）+f（
1
3
）的结果；
（2）由（2）可得两个自变量互为倒数的函数值的和为1，把x，
1
x
分别代入所给函数解析式，进而把函数值相加即可．
解答：解：（1）当x=2时，
x2
1+ x2
=
4
5
；当x=
3
时，
x2
1+ x2
=
3
4
；当x=
1
2
时，
x2
1+ x2
=
1
5

∴f（2）+f（
1
2
）=1；
∵f（3）=
9
10
，f（
1
3
）=
1
10
，
∴f（3）+f（
1
3
）=1．
（2）1．
证明：f(x)+f(
1
x
)=
x2
1+x2
+
1
x2
1+
1
x2
=
x2
1+x2
+
1
x2+1
=1．
点评：解决本题的关键是找到相应的自变量以得到准确的函数值；注意把所得规律进行应用．
练习册系列答案
相关题目
对于正数x，规定f（x）=
x
1+x
，计算f（
1
100
）+f（
1
99
）+f（
1
98
）+…+f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（98）+f（99）+f（100）=
 
．
对于正数x，规定f(x)=
x
1+x
，例如f（3）=
3
1+3
=
3
4
，f(
1
3
)=
1
3
1+
1
3
=
1
4
，计算：f(
1
2011
)+f(
1
2010
)+f(
1
2009
)+…+f(
1
3
)+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)+f（2010）+f（2011）=
 
．
精英家教网（1）对于正数x，规定f（x）=
x
1+x
，例如f（3）=
3
1+3
=
3
4
，f（
1
3
）=
1
3
1+
1
3
=
1
4

计算：f（
1
2009
)+f（
1
2008
）+f（
1
2007
）+…+f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）
（2）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为(-
3
，0)，AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．求∠CAO的度数．
（2009•九龙坡区一模）对于正数x，规定f（x）=
x
1+x
，比如 f（3）=
3
1+3
，f(
1
2
)=
1
2
1+
1
2
=
1
3
，则计算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f(
1
100
)+f(
1
99
)+…+f(
1
3
)+f(
1
2
)+f（1）=
100
100
．
对于正数x，规定f(x)=
x
1+x
，例如：f(3)=
3
1+3
=
3
4
，f(
1
3
)=
1
3
1+
1
3
=
1
4
．
求f(
1
2006
)+f(
1
2005
)+…+f(
1
3
)+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f(2005)+f(2006)的值．

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