Question

（1）对于正数x，规定f（x）=

x

1+x

，例如f（3）=

3

1+3

=

3

4

，f（

1

3

）=

1 3

1+ 1 3

=

1

4

计算：f（

1

2009

)+f（

1

2008

）+f（

1

2007

）+…+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）
（2）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为(-

3

，0)，AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．求∠CAO的度数．

Answer 1

分析：（1）可以发现f(n)+f(

1

n

)=1，故原式可化为：

1

2

+1+1+1+…+1+1+1，共有2008个1，故可得到结果．
（2）由AC为直径，可知AC=2，有OA=

3

，则在Rt△ABC中，由勾股定理求得OC的值，再由正弦的概念求得∠CAO的度数．

解答：解：
（1）∵f(1)=

1

1+1

=

1

2

，f(2)=

2

1+2

=

2

3

，f(

1

2

)=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，f(3)=

3

4

，f(

1

3

)=

1

4

；
∴f(1)=

1

2

；f(2)+f(

1

2

)=1；f(3)+f(

1

3

)=1；f(n)+f(

1

n

)=1
原式=f(1)+f(2)+f(

1

2

)+f(3)+f(

1

3

)+f(2008)+f(

1

2008

)+f(2009)+f(

1

2009

)
=

1

2

+1+1+1+…+1+1+1
=2008

1

2

；

（2）

∵∠AOC=90°，
∴AC是⊙B的直径，
∴AC=2
又∵点A的坐标为(-

3

，0)，
∴OA=

3

，
∴OC=

AC2-OA2

=

22-( 3 )2

=1
∴sin∠CAO=

OC

AC

=

1

2

，
∴∠CAO=30°．

点评：本题的第（1）小题，找到f(n)+f(

1

n

)=1是解题的关键，第（2）小题主要是解直角三角形．